Как решить дробно рациональные неравенства

Как решить дробно рациональные неравенства


Тема 5 РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Определение Неравенства вида , где А(х) и В(х) – известные многочлены, называются дробно-рациональными.

Определение Неравенство, которое имеет вид , где а1. а2. b1. b2. – некоторые действительные числа (а1 0, а2 0), называют дробно-линейным.

Самый рациональный способ решения таких неравенств – метод интервалов. Умножим обе части неравенства на В 2 (х). После преобразований имеем

Примеры решения неравенств методом интервалов

1 Решить дробно-линейное неравенство:

Обозначим точки х1 и х2 на числовой прямой рис. 15.


Рис. 15

  1. Определим знак неравенства на интервале (5; +). Возьмем х=10.  . Применим свойство перемены знака (см. рис. 15 ).

  2. Выберем промежутки со знаком неравенства "+". Учитываем область допустимых значений переменной х. Тогда х  (-; 3)(5; +).

Ответ: х  (-; 3)(5; +).

2) Преобразуем: 2х(х+5)>0  х1 =0 (ноль функции); х2 -5 (точка разрыва).


  1. Определим знак неравенства на интервале 0; +).

Возьмем х0, тогда . Затем применим правило перемены знака: 0; -5) – "-"; (-; -5) – "+".

  1. Выберем промежутки со знаком неравенства "+".

    Учтем область допустимых значений переменной х. Тогда х  (-; -5)0; +).


Ответ: х(-; -5)0; +).

2) Преобразуем:        (5х+9)(х+4)0  (нуль функции); х2 -4 (точка розрыва).

3) Определим знак неравенства на интервале . Возьмем , тогда


4) Выберем промежутки со знаком неравенства "-". Учтем область допустимых значений переменнной х. Тогда .


2 Решение дробно-рациональных неравенств:

2) Преобразуем:  (х 2 +4х-5)(х+3) 1, тогда .


4) Выберем промежутки со знаком неравенства "-" и учтем ОДЗ переменной х (пункт 1). Тогда х  (-; -5)  (-3; 1) .

2) Преобразуем:  (х 2 -6х+8)(х-3)?0  (х 2)(х 4)(х 3)?0.

3) х1 =2 и х3 =4 – нули функции; х2 3 – точка разрыва, поскольку выражение (х-3) находится в знаменателе.


4) Знак неравенства в интервале 4; +) - "+", поскольку .

6) Виберем промежутки с знаком неравенства "+" и учтем ОДЗ переменной х (пункт 1). Тогда х  .

1) Разложим многочлены в числителе и знаменателе на множители:

2) ОДЗ:   х  (-; 5)  (5; 6)  (6; +).

3) Преобразуем:  (х-3)(х-4)(х-5)(х-6)0.

4) х1 =3 и х2 =4 – нули функции; х3 =5 и х4 =6 – критические точки неравенства.

7) Выберем промежутки со знаком неравенства "+" и учтем ОДЗ переменной х (пункт 1). Тогда х (-; 34; 5) (6; +).

2) Преобразуем:     (х 2 +1)(х-1)(х+8)?0.

3) х 2 +1 всегда больше нуля, поэтому можем розделить обе части неравенства на это выражение.

Учитывая это, решаем неравенство: (х 1)(х+8)?0  х1 =1; х2 -8.


Задания для самостоятельной работы


2.1 Если а0, то решением неравенства будет ОДЗ функции f(x).

    1. Если а=0, то решением неравенства будет ОДЗ функции f(x), кроме тех точек, для которых f(х)=0.

    2. Если а0, то 

Примеры решения заданий

1 Решить неравенства с модулями:

По правилу 1.2 данное неравенство эквивалентно системе неравенств:

Решением данного неравенства есть пересечение множеств (рис. 22 ):

1) Проведем преобразования:

2) По правилу 2.3 неравенство эквивалентно совокупности неравенств:

3) Решение неравенства - пересечение множеств (рис. 23 ):

Левая и правая часть неравенства неотрицательны. Тогда можем возвести их в квадрат. Получим равносильное неравенство в заданной ОДЗ переменной.

  4х 2 -4х+1-9х 2 -6х-10  -5х 2 -10х0 5х 2 +10х0  5х(х+2)0

1) Раскроем внешний знак модуля. Имеем совокупность неравенств:

Раскроем подмодульные выражения:

  1. Решим cовокупность неравенств:

2 Решить неравенства с модулями методом интервалов:

1) Преобразуем неравенство: .

2) Найдем нули функций, которые стоят под знаком модуля:



как решить дробно рациональные неравенства, решение неравенств первой степени документи реферати:Тип: Решение; Размер: 416.71 Kb.; Неравенства. Основные свойства. Действия над неравенствами

как решить дробно рациональные неравенства

Как решить дробно рациональные неравенства 3 8 10
Как решить дробно рациональные неравенства 15 8 10