Как найти вектор нормали из уравнения плоскости

Как найти вектор нормали из уравнения плоскости


/ Vyshka / Уравнение плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой:



Выглядит значительно привлекательнее, чем предыдущие мытарства. В некоторых задачах аналитической геометрии уравнение плоскости можно составить несколькими способами, и решение через точку и нормальный вектор – самое оптимальное.

Составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали .

Решение: Используем формулу:

Проверка выполняется очень легко:

1) Из полученного уравнения снимаем вектор нормали: – всё хорошо, полученный вектор совпал с вектором из условия (в ряде случаев может получиться коллинеарный вектор).

2) Подставим координаты точки в уравнение плоскости:

Верное равенство, значит, точка принадлежит данной плоскости.

Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

Пример настолько прозрачен, что хочется немного завуалировать условие:

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно оси .

Это пример для самостоятельного решения. Просто, но со вкусом.

Перейдём к более содержательным примерам. Типовая задача:

Как построить плоскость, параллельную данной?

Построить плоскость, проходящую через точку параллельно плоскости .

Решение: Обозначим известную плоскость через . По условию требуется найти плоскость , которая параллельна плоскости и проходит через точку .

Выполним схематический чертёж, который поможет быстрее разобраться в условии и понять алгоритм решения:

У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали. Добавить нечего =) Осталось оформить мат в два хода:

1) Из уравнения найдём вектор нормали плоскости: .

2) Уравнение плоскости составим по точке и вектору нормали :

Как выполнить проверку, я уже рассказал.

Продолжаем раскидывать стог сена пространственной геометрии:

Как найти расстояние от точки до плоскости?

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки к данной плоскости:

При необходимости можно найти и точку, но для этого необходимо разобраться суравнениями прямой в пространстве и посетить урокОсновные задачи на прямую и плоскость .

Формула очень похожа на формулу «плоской» геометрии расстояния от точки до прямой (см. Пример №8 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости ).

Расстояние от точки до плоскости выражается формулой

Найти расстояние от точки до плоскости

Решение: анализировать тут нечего, главное, не допустить ошибку в вычислениях:

Такое даже для самостоятельного решения неловко предлагать.

Заключительный раздел урока будет посвящен взаимному расположению плоскостей. Мы уже немного поговорили о параллельных плоскостях, и сейчас продолжим тему:

Взаимное расположение плоскостей

Для практики наиболее важна информация о взаимном расположении двух плоскостей, но и о трёх плоскостях также будет краткая справка.

Рассмотрим две плоскости пространства, заданные общими уравнениями:

2) быть параллельными: ;

3) пересекаться по некоторой прямой «эль»: .

Всё очень и очень похоже на взаимное расположение прямых на плоскости (урок Простейшие задачи с прямой на плоскости ).

Совпадающие плоскости

Две плоскости совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Рассмотрим плоскости и составим систему:

Из каждого уравнения системы следует, что .

Таким образом, система совместна и плоскости совпадают.

Параллельные плоскости

Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но .

На практике очень часто первые три коэффициента банально совпадают ( ). Посмотрим, например, на уравнения параллельных плоскостей из Примера №8:

Комментарии, думаю, излишни, всё прекрасно видно. Но на всякий случай выполню формальную проверку, вдруг кому потребуется. Составим систему:

Из первых трёх уравнений следует, что , а из четвёртого уравнения следует, что , значит,система несовместна. Но коэффициенты при переменных пропорциональны, следовательно, плоскости параллельны.

Задача о построении параллельной плоскости уже была, поэтому решим что-нибудь новое:

Как найти расстояние между плоскостями?

Расстояние между двумя параллельными плоскостями выражается формулой:

Найдём расстояние между параллельными плоскостями Примера №8:

Найти расстояние между параллельными плоскостями .

Решение: Используем формулу:

У многих наверняка возник вопрос: вот у этих плоскостей – первые три коэффициенты одинаковы, но это же не всегда так! Да, не всегда.

Найти расстояние между параллельными плоскостями

Проверим пропорциональность коэффициентов: , но , значит, плоскости действительно параллельны. Первые три коэффициента пропорциональны, но не совпадают. Но формула-то предусмотрена для совпадающих коэффициентов!

Есть два пути решения:

1) Найдём какую-нибудь точку, принадлежащую любой из плоскостей. Например, рассмотрим плоскость . Чтобы найти точку, проще всего обнулить две координаты. Обнулим «икс» и «зет», тогда: .

Таким образом, точка принадлежит данной плоскости. Теперь можно использовать формулу расстояния от точки до прямой , рассмотренную в предыдущем разделе.

2) Второй способ связан с небольшим трюком, который нужно применить, чтобы таки использовать формулу. Это пример для самостоятельного решения.

Пересекающиеся плоскости

Сразу отмечу важный факт: Если плоскости пересекаются, то система линейных уравнений задаётуравнение прямой в пространстве. Но о пространственной прямой позже.

В качестве примера рассмотрим плоскости . Составим систему для соответствующих коэффициентов:

Из первых двух уравнений следует, что. но из третьего уравнения следует, что , значит,система несовместна. и плоскости пересекаются.

Проверку можно выполнить «по пижонски» одной строкой:

Параллельные плоскости мы уже разобрали, теперь поговорим о перпендикулярных плоскостях. Очевидно, что к любой плоскости можно провести бесконечно много перпендикулярных плоскостей, а для того, чтобы зафиксировать конкретную перпендикулярную плоскость, необходимо знать две точки:

Дана плоскость . Построить плоскость. перпендикулярную данной и проходящую через точки .

Решение: Начинаем анализировать условие. Что мы знаем о плоскости. Известны две точки. Можно найти вектор , параллельный данной плоскости. Маловато. Было бы неплохо где-нибудь нарыть ещё один подходящий вектор. Так как плоскости должны быть перпендикулярны, то подойдёт нормальный вектор плоскости .

Следует заметить, что две произвольные точки могут располагаться в пространстве как угодно, и перпендикулярная плоскость может быть развёрнута к нам совершенно другим ракурсом. Кстати, теперь чётко видно, почему одна точка не определит перпендикулярную плоскость – вокруг единственной точки будет «вращаться» бесконечно много перпендикулярных плоскостей. Так же нас не устроит и единственный вектор (без всяких точек). Вектор является свободным и «наштампует» нам бесконечно много перпендикулярных плоскостей (которые, к слову, все будут параллельны).

В этой связи минимальную жёсткую конструкцию обеспечивают две точки.

Алгоритм разобран, решаем задачу:

1) Найдём вектор .

2) Из уравнения снимем вектор нормали: .

3) Уравнение плоскости составим по точке (можно было взять и ) и двум неколлинеарным векторам :

Проверка состоит из двух этапов:

1) Проверяем, действительно ли плоскости будут перпендикулярны. Если две плоскости перпендикулярны, то их векторы нормали будут ортогональны. Логично. Из полученного уравнения снимаем вектор нормали и рассчитываемскалярное произведение векторов :

2) В уравнение плоскости подставляем координаты точек. Обе точки должны «подойти».

И первый, и второй пункт можно выполнить устно.

Перейдём к заключительной задаче урока:

Как найти угол между плоскостями?

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двухгранных угла и любой из этих углов можно считать углом между плоскостями. Иными словами, острый или тупой угол получится – не имеет значения.

Обозначим угол между плоскостями через :

Наклон плоскости однозначно определяется её вектором нормали, поэтому угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами данных плоскостей. А угол между векторами рассчитывается с помощью обыденной формулы, рассмотренной на урокеСкалярное произведение векторов :

Распишем формулу в коэффициентах:

И всего-то. Формула простецкая, придумаем задачку поинтереснее:

Найти угол между плоскостями

Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока.

Что-то не хочется мне вас сегодня отпускать… наверное, хорошо себя вели и активно работали на уроке =) Придётся рассказать что-нибудь ещё.

Взаимное расположение трёх плоскостей

Три плоскости могут располагаться в пространстве 8-ю способами, если интересуют все случаи, пожалуйста, посмотрите в книге Атанасяна-Базылева или в Интернете, видел вроде в Википедии, точно уже не помню.

Самый известный случай взаимного расположения трёх плоскостей – плоскости пересекаются в одной точке. Живой пример находится совсем недалеко от вас. Посмотрите вверх – в угол комнаты, где пересекаются две стены и потолок. Пессимисты могут посмотреть вниз.

Аналитически данному случаю соответствует система линейных уравнений , которая имеет единственное решение.

Ничего не напоминает? Вот, оказывается, где прячется метод Крамера … – в углу вашей комнаты!

На следующем уроке мы изучим Прямые в пространстве .

Спасибо за работу, домашнего задания не будет!

Решения и ответы:

Пример 2:Решение: составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам:

Ответ:

Пример 7:Решение: Так как плоскость перпендикулярна оси, то векторявляется вектором нормали для данной плоскости. Уравнение плоскости составим по точкеи вектору нормали:

Ответ:

Пример 11:Решение: Разделим все коэффициенты второго уравнения на два:

Используем формулу

Ответ:



как найти вектор нормали из уравнения плоскости:/ Vyshka / Уравнение плоскости Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой: Выглядит значительно привлекательнее, чем предыдущие мытарства. В

как найти вектор нормали из уравнения плоскости

Как найти вектор нормали из уравнения плоскости 16 7 10
Как найти вектор нормали из уравнения плоскости 9 8 10